تعيين خط زوال، ص: 1
 [شناسنامه كتاب‏]

تعيين خط زوال‏
و
خط مشرق و مغرب اعتدال‏
و
و تحصيل سمت قبله آفاق‏
از طريق دايره هنديه‏
علامه حسن زاده آملى‏                        تعيين خط زوال، ص: 2
شناسنامه كتاب:
نام كتاب: سى فصل در تعيين ...
نويسنده: استاد علامه حسن حسن زاده آملى‏
ناشر: قيام، قم، خيابان شهدا، كوچه ممتاز، تلفن 716587
تيراژ: 3000 نسخه‏
چاپ: نهضت‏
قطع: رقعى‏
حروفچينى: ادب 22385
گرافيك: واصف‏
تاريخ انتشار: سال 1373
نوبت چاپ: اول‏
امتياز: براى انتشارات قيام است‏
                        تعيين خط زوال، ص: 3
 [مقدمه‏]
بسم الله الرحمن الرحيم‏
الهى ثناى تو گويم كه ارتفاع كعبه جلالت به مقياس حواس و عقول درنمى آيد. و لقاى تو جويم كه به سمت قبله وصالت انحراف و عدول راه نمى يابد.
صلات و سلام بر روح مقدس مؤيد به روح القدس و مخاطب به قَدْ نَرى‏ تَقَلُّبَ وَجْهِكَ فِي السَّماءِ فَلَنُوَلِّيَنَّكَ قِبْلَةً تَرْضاها فَوَلِّ وَجْهَكَ شَطْرَ الْمَسْجِدِ الْحَرامِ كه در آسمان رفعت شارق بى زوال است، و در افق حقيقت شاخص بى مثال.
و بر آل او كه به خطاب إِنَّما يُرِيدُ اللَّهُ لِيُذْهِبَ عَنْكُمُ الرِّجْسَ أَهْلَ الْبَيْتِ وَ يُطَهِّرَكُمْ تَطْهِيراً محقق اند، و قبله نماى طالبان قبله حق.
و بعد اين رساله سى فصل است در بيان تعين خط زوال، و خط مشرق و مغرب اعتدال، و تحصيل سمت قبله آفاق، از طريق دائره هنديه، كه به قلم اين كمترين حسن حسن زاده آملى به رشته تحرير درآمده است، و اميد است كه مقبول طبع مردم صاحب نظر
                        تعيين خط زوال، ص: 4
شود. ما را در پيرامون آن سخنى نيست، چه مشك آن است كه خود ببويد نه آن كه عطار بگويد.
دائره هنديه در السنه علماى دين و در كتب فقهيه دائره است. و جهت اشتهارش اين است كه اعمال آن بدون اعمال قواعد رياضى و آلات رصدى صورت مى گيرد، و براى هر كس ميسور است.
و چون در عمل به دائره هنديه، نخست بايد سطحى موزون تحصيل كرد، خواه قطعه اى از زمين باشد و خواه پاره اى از اخشاب و فلزات كه براى همراه داشتن به كار آيد، و پس از آن نصب مقياس ضرورى است، و دانستن ارتفاع شمس نيز مؤيد است، ما نيز به ترتيب ياد شده گوييم:
                        تعيين خط زوال، ص: 5
فصل 1 در تسويه ارض‏
براى تسويه و هموار كردن سطح زمين آلاتى مى توان بكار برد از آن جمله نوعا اين دو گونه آلت را بكار مى برند يكى ميزان حباب دار كه آن را طراز گويند و بيشتر نجاران و بنايان آن را استعمال كنند.
و ديگر گونيا، و آن مثلثى است متساوى الساقين از چوب يا فلز كه وزن دو ساق آن با هم برابر باشد و گرنه مقصود به حصول نرسد. و بر منتصف قاعده آن نشان كنند و از رأس مثلث شاقولى در آويزند و آن خيطى بود كه بر يك طرف آن جسمى ثقيل آويخته باشند و بعضى زاويه رأس آن را براى امتحان زواياى عمارات و غير آن قائمه سازند و يك صورت آن اين است و به صورت هاى ديگر نيز درست مى كنند ولى اين صورت ساده ترين آنها است. (ش 1)
پس مسطره اى متوازى السطحين مصحح الوجه آراسته را بر زمين نهند و وسط آن را ثابت داشته اطراف آن را دائره سازند، يعنى دور دهند به نوعى كه همه جاى آن مماس سطح ارض باشد و
                        تعيين خط زوال، ص: 6
روشنى بين سطح زمين و مسطره ظاهر نشود پس قاعده گونيا يا طراز را بر آن مسطره نهاده دوباره مسطره را دور دهند و در هر موضع كه شاقول از نشانه خود يا حباب از وسط لوله طراز متمايل و منحرف شود، آن جانب را بلندتر و يا خلاف وى را پست تر سازند و همچني‏ن اين عمل را در همه آن سطح بجاى آرند تا هنگامى كه شاقول بر نشانه خود، و يا حباب از وسط لوله حباب راست بايستد و ديگر منحرف نگردد، پس آن سطح موزون و موازى سطح افق است.
و چون خيط شاقول بر سطح قاعده گونيا عمود است و سطح آن موازى با سطح زمين است، لاجرم خط شاقول عمود بر سطح زمين خواهد بود، به عكس شكل چهاردهم مقاله حادى عشر اصول اقليدس.
و چون اثقال بالطبع بر سمت خط عمودى مايل به مركزند، خيط شاقول عمود بر سطح افق خواهد بود، پس به خود شكل نامبرده اين سطح موزون، موازى سطح افق حقيقى و داخل در سطح افق حسى بود و هوالمطلوب.
تبصره:
اگر صفحه اى متوازى السطحين از رخام يا از هر جنسى بسازند و بر سطح موصوف الذكر كار نهند، و يا بر روى بلندى سطحى بدان صفت نمايند و دستورات آينده را بر آنها عمل كنند بهتر و پاينده تر و براى هميشه بكار آيد بخصوص براى سمت قبله و ظهر و ساعات روز.
                        تعيين خط زوال، ص: 7
فصل 2 در مقياس و طريق نصب و اندازه آن‏
اما مقياس و طريق نصب و اندازه آن در دائره هنديه اين است كه: مقياس به شكل مخروط محددالرأس قائم مستدير ثقيل معتدل در رقت و غلظت باشد.
مخروط محددالرأس به اين علت اختيار كرده اند تا ظل عندالحاجت متفرق نشود كه محل آن معلوم نتوان كرد، چه سر مخروط ارق از قاعده اش است و مدخل و مخرج ظل در يك نقطه مشخص است، و مع ذلك اگر مخروطى باشد كه رأس ظل او را اندك عرض و پهنائى باشد، بايد از منتصف رأس ظل در وقت خروج و دخول از دائره هنديه علامت گذاشت.
و قائم مستدير به اين علت اختيار شده است تا سهم آن عمود بر مركز سطح قاعده وى بود.
و ثقل براى اين جهت اختيار شده است تا در جايش ثابت بماند و قرار گيرد.
و اعتدال در رقت و غلظت به اين علت اختيار شده است كه اگر زياد باريك باشد ادراك ظل نتوان كرد، و اگر غلظت آن زياد بود،
                        تعيين خط زوال، ص: 8
ظل متفرق شود و عمل به دقت انجام نشود.
طريق نصب مقياس چنين است كه بر سطح موزون مستوى ياد شده، عمود باشد. بدين بيان: كه بر آن سطح دائره صغيره اى كه نصف قطر آن مساوى نصف قطر قاعده مقياس باشد تا اين صغيره به اندازه دائره قاعده مقياس شود، رسم نمايند. پس مقياس را چنان وضع كنند كه محيط قاعده او بر محيط اين صغيره منطبق گردد. و چون سطح قاعده مقياس بر سطح اين دائره صغيره منطبق است، پس سهم عمود بر سطح قاعده مقياس نيز بر سطح آن عمود باشد.
                        تعيين خط زوال، ص: 9
فصل 3 در امتحان مقياس‏
تبصره:
براى امتحان قيام عمودى سهم مقياس بر سطح موزون، يا شاقول بكار بايد برد كه اگر آن را از رأس مقياس معلق نمايند به همه اطراف سطح مقياس منطبق شود، قائم است.
و يا دائره اى اعظم از قاعده آن رسم بايد كرد بطورى كه مركز هر دو يكى باشد و از سه جاى محيط اين دائره در گرداگرد مقياس با سر مقياس به نخى و غير آن اندازه گيرند، اگر فاصله هر سه جا تا سر مقياس برابر باشد مقياس عمود بر سطح بود، زيرا كه در اين حال سه مثلث قائم الزاويه حادث شود كه اضلاع هر يك با اضلاع ديگرى كل لنظيره مساوى است به شكل هشتم مقاله اولاى اصول، يك ضلع سهم مقياس كه عمود است و در هر سه مثلث ضلع مشترك است، و ضلع ديگر خط متوهم از آن سه نقطه گرداگرد مقياس از دائره عظيمه تا رأس مقياس كه هر يك وتر قائمه مى شوند، و ضلع ديگر از آن سه نقطه تا قاعده سهم، كه هر يك نصف قطر محيط عظيمه اند. و اگر خط سهم عمود بر سطح نبودى از او و از خطوط ملاقى با او در آن سطح‏
                        تعيين خط زوال، ص: 10
بيش از دو زاويه متساويه پديد نيامدى.
علت اين كه گفته ايم بايد مقياس عمود بر سطح باشد اين است كه اگر مقياس بر آن سطح مايل بود يا زاويه ميل به سوى شرق است يا به خلاف آن، به فرض اول سايه مقياس از اندازه اى كه بايد در صورت تساوى ارتفاع شمس در جهت شرق با غرب باشد كمتر خواهد بود، و به فرض دوم بيشتر، بنابر اين ارتفاع شرقى شمس در وقت رسيدن ظل به مدخل دائره، با ارتفاع غربى آن به مخرج دائره متساوى نباشد و با عدم تساوى ارتفاعين مطلوب حاصل نشود.
اگر گوئى ميل مقياس نه به سوى شرق بود و نه به سوى غرب، بلكه بر نفس خط شمال و جنوب كه همان خط نصف النهار در دائره است، باشد، چنان كه اگر از رأس مقياس چيزى بر دائره عمود كنيم بر خط نصف النهار واقع شود و از آن منحرف نگردد.
جواب اين كه اگر چه بر اين فرض ارتفاع شمس در وقت رسيدن ظل به مدخل و مخرج يكى است و هر دو سايه در آن دو وقت يكى است، ولى اين مشتمل بر دوربين است، چه هنوز خط نصف النهار معلوم نيست و تازه مى خواهيم از اين راه آن را تحصيل نماييم.
                        تعيين خط زوال، ص: 11
فصل 4 در اندازه مقياس‏
اما اندازه مقياس آنقدر بايد كه ظل آن در وقت نصف النهار كه غايت ارتفاع شمس هر روز در آن وقت است، از نصف قطر دائره بقدرى كوتاه تر باشد كه تا حدى معتنى به، در قبل از نصف النهار داخل دائره شود و آن را مدخل و مخرج باشد. چه اگر ظل آن در هنگام غايت ارتفاع شمس در هر روز برابر با نصف قطر دائره يا بيشتر از آن باشد، داخل دائره نمى شود و مدخل و مخرج نخواهد داشت.
به اين علت گفتيم تا حدى معتنى به، قبل از نصف النهار داخل دائره شود، كه اگر دخول و خروج ظل در وقت قرب شمس به افق و يا به نصف النهار باشد عمل به دقت تمام نشود، چه در قرب شمس به افق، رأس ظل متشتت، و به قرب نصف النهار تقلص و انبساط آن بطيى ء است و در هر دو صورت وقت دخول و خروج آن به تحقيق تعيين نمى شود، لذا ابوريحان بيرونى در قانون مسعودى «1» گويد:
 ( [و انما قانونه يعنى قانون المقياس ان يجعل بحيث يقصر ظله فى المنقلب الشتوى فى ذلك البلد عن نصف قطر الدائرة قصورا
__________________________________________________
 (1) ص 448، ج 1 ط حيدر آباد دكن هند.
                        تعيين خط زوال، ص: 12
صالحا لثلا يمر طرف الظل طول النهار خارج الدائرة او يماسها و لكن يقاطعها فى موضعين‏] (.
قيد صالحا را براى همين جهت آورده كه زياد كوتاه نباشد تا زمان قرب شمس به افق ظل مقياس، دائره را قطع كند، و نه زياد بلند تا زمان تقاطع ظل و دائره در نزديكى نصف النهار باشد.
خواجه طوسى در تذكرة هيأت، و علامه حلى در منتهى فقه فرمودند: بايد نصف قطر دائره دو برابر مقياس باشد، و ديگران همين معنى را به اين لفظ اخصر و اوضح تعبير نموده اند كه مقياس بقدر ربع قطر دائره باشد. و شيخ بهاءالدين عاملى در تشريح الافلاك گفته است كه اندازه مقياس قريب به ربع قطر دائره باشد.
و فاضل برجندى در شرح زيج الغ بيك، و ملا مظفر در رساله قبله تفصيل داده اند به اين بيان كه: ليكن عادت به آن جارى شده است كه طول آن در زمستان بقدر ربع قطر دائره كنند و در تابستان بقدر ثلث قطر دائره. و ابوريحان بيرونى در قانون چنان كه نقل كرده ايم گويد:كه مقياس تا اندازه اى كمتر از نصف قطر دائره باشد تا ظل مقياس در منقلب شتوى داخل دائره شود.
                        تعيين خط زوال، ص: 13
فصل 5 در بيان اندازه مقياس‏
بيان:
آنانى كه اندازه مقياس را ربع قطر دائره گفتند از اين جهت است كه در اكثر آفاق معموره، ظل آن داخل دائره مى شود و آن را مدخل و مخرج خواهد بود.
و قيد اكثر را از اين روى آورديم كه آفاقى عرض آنها از چهل درجه بيشتر است، ظل اين مقياس در منقلب شتوى كه آن اول جدى و اول زمستان آفاق شماليه است، اصلا داخل دائره نمى شود.
مثلا در عرض چهل درجه، ارتفاع معدل النهار پنجاه درجه (50) است كه تمام آن تا نود درجه، چهل درجه است، و چون شمس در منقلب شتوى بود، بقدر ميل كلى كه مطابق رصد زيج بهادرى 23 درجه و 27 دقيقه است، از معدل النهار دورتر و به افق نزديك تر خواهد بود. پس ارتفاع شمس در آن وقت 26 درجه و 33 دقيقه است، و ظل مقياس در آن ارتفاع شمس چنان كه از جدول زيجات معلوم است، در حدود 120 درجه كه بقدر قطر دائره است و چون ظل مقياس در وقت نصف النهار داخل دائره نگردد به طريق اولى قبل‏
                        تعيين خط زوال، ص: 14
از آن و بعد از آن داخل در آن نخواهد شد.
و نيز در عرض بلدى كه چهل درجه (40) باشد، اين چنين است پس در آفاقى كه عرض آنها بيشتر است مسلما در وقت نصف النهار اول جدى تا اندازه اى ظل مقياس از دائره بيرون افتد و هر چه عرض بلد بيشتر بود زيادتى ظل از نصف قطر دائره بيشتر خواهد بود، چه هر اندازه شمس به افق نزديك تر باشد، امتداد سايه اشخاص بيشتر است.
و قيد منقلب شتوى را از اين جهت آورديم كه اگر شمس در منقلب صيفى بود كه اول سرطان و اول تابستان است در عرض چهل درجه، ظل داخل دائره مى شود و آن را مدخل و مخرج خواهد بود، زيرا بقدر ميل كلى بر ارتفاع معدل النهار افزوده مى شود و آن غايت ارتفاع معدل النهار افزوده مى شود و آن غايت ارتفاع شمس در وقت نصف النهار آن روز خواهد بود كه 73 درجه و 27 دقيقه است و ظل مقياس كه ظل ثانى يعنى ظل مستوى است، در اين ارتفاع در حدود 18 درجه است كه از نصف قطر كمتر است، و همچنين تا عرض 87 درجه كه ارتفاع شمس در اول سرطان 26 درجه و 27 دقيقه است و ظل ثانى مقياس در نصف النهار باز به اندازه قطر دائره مى شود و به عرض بيشتر بيشتر.
ولى با اين همه چون نظر آنان اين است كه خط نصف النهار و مشرق و مغرب را از ظل مقياس دائره هنديه در منقلب صيفى بايد عمل كرد تا به واقع نزديك تر و عمل دقيق تر باشد، و در نصف النهار منقلب صيفى ظل مقياس بقدر ربع قطر دائره تا قريب عرض 87
                        تعيين خط زوال، ص: 15
درجه كه در حدود قطب است، داخل دائره مى شود و بدان مى توان عمل كرد از اين روى مقياس را به ربع قطر دائره تقدير كرده اند.
علاوه اين كه اگر مدخل و مخرج ظل در دائره هنديه، در زمان قرب شمس به افق و يا قرب آن به نصف النهار، بود اگر چه در منقلب صيف‏ى باشد، باز عمل دقيق نخواهد بود، ولى چون مقياس بقدر ربع قطر دائره باشد، به خيرالامور اوسطها خواهد بود. مع ذلك خالى از تأمل نيست و وجه تأمل اين كه بنابر دقت عمل، مقياس چون بقدر ربع قطر دائره باشد، اگر چه در اغلب آفاق معموره درست

در آيد و لكن تا عرض 87 درجه بلكه خيلى كمتر از آن را شامل نمى شود، زيرا در آفاق كثير العرض دخول و خروج ظل در نصف النهار بوقوع مى پيوندد.
شيخ بهائى از اين جهت فرمود كه قريب به ربع قطر دائره باشد، تا شامل همه آفاق شود، چه در منقلب صيفى و چه در منقلب شتوى، چنانكه در الحبل المتين، پس از آن كه حرف علامه حلى را از منتهى نقل كرد كه ( [: يكون نصف قطر الدائره بقدر ضعف المقياس‏] (تصريح فرمود كه:
 ( [ما ذكره طاب ثراه من كون المقياس بقدر ربع قطر الدائره ليس مطردا فى كل البلاد، اذ ربما يجب فى بعضها ان يكون اقصر من ربع القطر ليتم العمل كما اذا كان عرض البلد اربعين درجة و دقيقتين مثلا فان المقياس المساوى طوله لربع قطر الدائره لا يدخل ظله فى الدائرة اصلا فى ذلك البلد عند كون الشمس فى اول الجدى بل‏
                        تعيين خط زوال، ص: 16
لا بد ان يكون اقصر من الربع كما لايخفى على من نظر فى جداول الظل‏] (.
راقم گويد:
آن كه شيخ بهائى فرمود كلام علامه در همه بلاد مطرد نيست، از بيانى كه ما تقديم داشته ايم، دانسته شد در همه بلاد مطرد است بلكه تا آفاق قريب به قطب را شامل است.
و از آنچه گفته ايم و توضيح داده ايم، مراد بيرجندى از تفصيلى كه ذكر كرده است، معلوم مى گردد. و همچنين مقصود ابوريحان نيز از قيد به منقلب شتوى معلوم مى گردد، زيرا اندازه مقياس تا حدى باشد كه در نصف النهار منقلب شتوى در افقى، ظل داخل دائره شود و در روزهاى ديگر كه ارتفاع شمس بيشتر است به طريق اولى.
اين بود بيانى كه به اجمال در پيرامون تعبيرات دانشمندان نامبرده در مقدار مقياس ظل عرضه نموده ايم.
                        تعيين خط زوال، ص: 17
فصل 6 در تحصيل ارتفاع شمس‏
اما تحصيل ارتفاع شمس:
چون خواهند بعد هر نقطه مفروضه بر آسمان را از افق بدانند، خواه آن نقطه مركز كوكبى باشد و خواه غير آن، دائره عظيمه اى توهم كنند كه به دو قطب افق و مركز آن نقطه بگذرد، و آن دائره را دائره ارتفاع و دائره سمتى خوانند و قوسى از اين دائره كه ميان آن نقطه و افق باشد از جهت نزديك تر، آن را ارتفاع آن نقطه خوانند اگر كوكب يا نقطه مفروضه فوق الارض بود، و انحطاط آن نقطه گويند، اگر تحت الارض بود.
براى تحصيل قوس ارتفاع، يا بايد از قواعد رياضى استخراج كرد كه در افراد المقال بيرونى صفحه 49 و در متون زيجات نيز به طريق عديده به تفصيل ذكر شده است و مبتنى بر قضاياى متعدد هندسى است، و يا به آلات نجومى. اما در قسم اول، همان كلام بيرونى را از رساله ياد شده با اشارت به مبانى برهانى هندسى آن با ترجمه به فارسى معروض مى داريم:
در اين شكل (ش 2) ا ب ج د/ دائره ارتفاع بر مركزه كه ه قائم‏
                        تعيين خط زوال، ص: 18
مقام رأس مقياس است.
اه ج/ فصل مشترك بين سطح افق و بين سطح دائره ارتفاع.
ب د/ دو قطب افق: سمت رأس و سمت قدم.
ه ل/ مقياس و شمس بر نقطه ح پس ح ا قوس ارتفاع وح ب قوس تمام ارتفاع و ح ط جيب ارتفاع و طه مساوى جيب قوس تمام ارتفاع است.
و شعاع ح ه ك را اخراج مى كنيم و نيز ك ل را عمود بره ل رسم مى كنيم پس ك ل ظل مستوى ارتفاع ح ا مى شود و خطه ك قطر ظل وه ح جيب اعظم است چون نصف قطر است.
در دو مثلث ه ل ك ح طه هر يك از دو زاويه طل قائمه اند. و چون دو خط ك ل، ه ط متوازى اند وح ه ك قاطع آن دو است به شكل 29 مقاله اولى اصول، زاويه ح ه ط خارجه، و زاويه ه ك ل داخله‏
                        تعيين خط زوال، ص: 19
مساوى يكديگرند، پس دو مثلث ياد شده، متشابه اند به شكل چهارم مقاله ششم اصول، بنابر اين نسبت ه ل به ه ك مثل نسبت ح ط به ح ه است يعنى نسبت مقياس به قطر ظل، مثل نسبت جيب قوس ارتفاع است، به جيب كلى.
در اين نسبت مطلوب تحصيل جيب قوس ارتفاع است كه چون جيب معلوم شود و مقوس گردد آن قوس ارتفاع خواهد بود. پس اگر ظل وقت براى ما معلوم باشد، در مثلث ه ل ك به شكل عروس (شكل 47 مقاله يكم اصول) مربع ه ل بعلاوه مربع ل ك/ مربع ه ك. و چون مربع ه ك معلوم شده است ضلع آن كه خوده ك است بدست مى آيد پس در نسبت اربعه فوق به شكل 19 مقاله هفتم اصول:
تحصيل ارتفاع شمس از اصطرلاب‏اما در قسم دويم كه از آلات نجومى تحصيل شود، بهتر از همه اسطرلاب يا ربع مجيب است. طريق گرفتن ارتفاع از اسطرلاب، اين است كه علاقه را به دست راست گيرند و اسطرلاب را معلق سازند چنان كه ربع حجره كه اجزاى ارتفاع بر آن نقش شده به جانب آفتاب باشد، و عضاده بگردانند تا نور آفتاب از دو سوراخ لبنه بگذرد. و اگر آفتاب در زير ابر باشد بايد شعاع بصر از دو سوراخ لبنه بگذرد، و در هر حال شظيه ارتفاع بر جزوى از اجزاء ارتفاع حجره مى افتد كه مقدار ارتفاع آفتاب از سطح افق است.
                        تعيين خط زوال، ص: 20
عيين خط زوال، ص: 20
تحصيل ارتفاع شمس از ربع مجيب‏
اما از ربع مجيب چون خواهند ارتفاع آفتاب بگيرند بايد كه ربع را به هر دو دست گرفته و دفه اى كه برطرف مركز ربع است برابر آفتاب بدارند و ربع را بگردانند تا سايه دفه كه برطرف مركز است بر دفه طرف قوس ربع واقع شود تا آن كه شعاع آفتاب از سوراخ دفه عليا بر سوراخ دفه سفلى افتد. و بايد كه خيط بر روى ربع چنان مماس شود كه نه داخل باشد و نه خارج، و روى ربع نه تاريك باشد و نه روشن، پس خيط بر هر درجه قوس كه بيفتد آن مقدار، ارتفاع آفتاب بود از طرفى كه از دفه خالى باشد يعنى ابتداى شمار قوس ارتفاع را بايد از آن طرف ربع كه خالى از دفه است، حساب كرد. و اگر آفتاب در زير ابر باشد، بايد آفتاب از هر دو ثقبه دفتين مرئى گردد و به دستور فوق عمل مى شود.
                        تعيين خط زوال، ص: 21
فصل 7 در صنعت آلت ارتفاع‏
دستور بسيار ساده و آسان در صنعت آلتى كه براى تحصيل ارتفاع شمس و ارتفاعات كواكب و امور ديگر بكار آيد اين است كه بر روى قطعه اى از چوب يا فلز كه داراى وزن و ثخنى صالح باشد و به شكل مربع يا مستطيل بوده باشد و نيز به دقت تمام مستوى السطحين بوده باشد، ربع دائره با پرگار رسم شود و محيط اين ربع دائره به نود درجه متساوى مدرج شود و اگر به اجزاى درجه هم تقسيم گردد، دقيق تر خ واهد شد. و نقطه مركز دائره را سوراخ باريك نموده و نخى كه طول آن اندكى از اندازه نصف قطر دائره ربع، بيشتر باشد بر آن كشيد و بر انتهاى آن شاقولى كه در ثقل و خفت فراخور ربع باشد، آويخت، و از مركز بر دو طرف ربع دو خطى مستقيم اخراج كرد، و بر روى خطى كه به طرف فوق الرأس است و به يمين راصد خواهد بود، دو لبنه يعنى دو هدفه با مقدار فاصله اى از يكديگر درست در مقابل يكديگر نصف شوند، و وسط آن دو لبنه نيز مقابل هم سوراخ شود و اين دو قطعه كوچك لبنه از چوب يا فلز مطابق جنس ربع به شكل مربع يا مستطيل در طول و عرض و ثخن به اندازه‏
                        تعيين خط زوال، ص: 22
هم باشند.
پس هرگاه خواهند ارتفاع شمس يا كوكبى تحصيل كنند آن قطعه را چنان نگاهدارند كه صفحه مدرج به طرف شمس بود كه نور شمس يا شعاع بصر اگر شمس زير ابر باشد يا مطلوب ارتفاع قمر و كوكبى يا امور ديگر باشد، از دو سوراخ لبنتين بگذرد و خيط مماس قوس شود، پس خيط روى هر چند درجه ربع قرار گرفته از ابتداى ربع از خط يسار بشمارند، آن مقدار قوس ارتفاع شمس يا كوكب بود، و صورت آن اين است. (ش 3) و درجات قوس را فقط به عنوان تصوير ترسيم كرده ايم نه اين كه به دقت مدرج شده باشد.
                        تعيين خط زوال، ص: 23
فصل 8 در تحصيل ارتفاع شمس‏
طريق تحصيل ارتفاع شمس از ظل شاخص:
ممكن است كه ارتفاع شمس را فقط از راه سايه شاخص تحصيل كرد كه حاجت به هيچ آلت نجومى نبود، چنان كه شيخ بهائى در آخر كشكول «1» نقل كرده است ولى برهان آن را ذكر نكرده است و گفته است كشكول گنجايش آن را ندارد. ما نخست عبارت شيخ را نقل مى كنيم و سپس به ترجمه و شرح آن مى پردازيم:
 ( [اذا اردنا ان نعرف ارتفاع الشمس ابدا من غير اسطرلاب و لا آلة ارتفاع فانا نقيم شاخصا فى ارض موزونة، ثم نعلم على طرف الظل فى ذلك الوقت، و نمد خطا مستقيما من محل قيام الشاخص يجوز على طرف الظل الى مالانهاية معينة له، ثم نخرج من ذلك المحل على خط الظل فى ذلك السطح عمودا طوله مثل طول الشاخص، ثم نمد خطا مستقيما من طرف العمود الذى فى السطح الى طرف الظل فيحدث سطح مثلث قائم الزاوية، ثم نجعل طرف الظل مركزا و ندير عليه دائرة باى قدر شئنا، و نقسم الدائرة باربعة
__________________________________________________
 (1) ص 621، طبع نجم الدوله.
                        تعيين خط زوال، ص: 24
اقسام متساوية على زوايا قائمة يجمعها المركز، و نقسم الربع الذى قطعه المثلث من الدائرة بتسعين جزوا، فم‏ا قطعه الضلع الذى يوتر الزاوية القائمة من الدائرة ممايلى خط الظل هو الارتفاع‏] (.
 ( [و ليكن (ش 4) محل الشاخص نقطة ا، و طرف الظل ب، و الخط الشاخص اح، و العمود فى السطح ا د، و ا هى الزاوية القائمة، و المستقيم الواصل بين طرف العمود و طرف الظل د ب، و المثلث ا ب د، و مركز الدائرة ب، و الدائرة ى ر ح ه، والضلع الموتر للزاوية القائمة من المثلث ضلع ب د فاذا كان قطعا للربع على نقطة ك كانت قوس ى ك مقدار الارتفاع فى ذلك الوقت من ذلك اليوم. و هذا مما برهن عليه لكن برهانه مما يطول و لايتسع له الكشكول‏] (.يعنى هر گاه بخواهيم ارتفاع شمس را بدون اسطرلاب و ديگر
                        تعيين خط زوال، ص: 25
آلات ارتفاع بشناسيم شاخصى بر زمين موزون نصب مى كنيم، و در آن هنگام بر طرف ظل نشانه مى گذاريم و از محل قيام شاخص خطى مستقيم مى كشيم كه بر طرف ظل بگذرد و اين خط را نهايت معينى نيست، سپس از محل شاخص در همان سطح موزون خطى بر خط ظل عمود مى كنيم كه طول اين خط عمود، به اندازه طول شاخص باشد، بعد از آن از طرف اين خط عمود كه در سطح زمين كشيده ايم خطى مستقيم تا به طرف ظل رسم مى كني م در نتيجه سطح مثلثى قائم الزاويه حادث مى گردد، پس از اين عمل، طرف ظل را مركز قرار مى دهيم و دائره اى به هر قدر كه بخواهيم بر آن ترسيم مى كنيم و آن را به چهار قسم متساوى تقسيم مى نماييم كه زاويه مركزى هر يك قائمه گردد، و آن ربعى را كه مثلث نام برده، قاطع آن است به نود جزء مساوى قسمت مى كنيم، حاصل اين كه قوسى از اين ربع كه ميان وتر زاويه قائمه مثلث و ميان خط ظل واقع شده است، قوس ارتفاع شمس است.
محل شاخص نقطه ا بوده باشد، و طرف ظل ب، و خط شاخص اح، و عمود در سطح ا د، و ا زاويه قائمه، و خط مستقيم و اصل ميان طرف عمود و طرف ظل د ب، و مثلث ا ب د، و مركز دائره ب، و دائره ى ر ح ه، و ضلع وتر زاويه قائمه مثلث ب د، پس هر گاه ب د قاطع ربع دائره بر نقطه ك باشد قوس ى ك مقدار ارتفاع شمس در وقت مفروض است و بر اين مطلب برهان اقامه شده است لكن برهان آن طولانى است و كشكول گنجايش آن را ندارد.
                        تعيين خط زوال، ص: 27
فصل 9 در برهان ارتفاع شمس از ظل‏
بيان: اين بود ترجمه عبارت شيخ رحمة الله عليه در كشكول كه تقديم داشتيم. كشكول به تصحيح مرحوم نجم الدوله، دوبار به طبع رسيده است و متن هيچ يك از آن دو خالى از اغلاط نيست. طبع اول آن عارى از شكل در اين مقام است، و در طبع دوم هر چند شكل دستور مذكور رسم شده است و لكن خطوطى زائد بر نص دستور ترسيم شده است كه موجب بعد از مقصود است نه قرب به آن و در اشكال هندسى جدا بايد از يك حرف زائد اجتناب كرد و شكل هر چه صحيح تر و به واقع نزديك تر و بدون حشو و زوائد باشد، براى درست رسيدن و يافتن مطلوب، مؤثرتر است.
در متن طبع اول آمده است ( [: و ندير عليه دائرة بأى قدر شيئا] (و صحيح آن باى قدر شيئانا است كه متكلم مع الغير ماضى از شاء يشاء است.
و در متن هر دو طبع آمده است ( [: مما قطعه ضلع الذى يوتر الزاوية القائمة] (با اين كه صحيح آن فما قطعه الضلع الذى است با فاى فصيحه و ضلع معرف به ال حرف تعريف، و يا ضلعه به اضافه ضلع به ضمير راجع به مثلث.
آن كه جناب شيخ فرمود ( [: و اين خط را نهايت معينى نيست ...
                        تعيين خط زوال، ص: 28
] (مراد اين است كه در آن حد معينى شرط نيست و جواز آن از طرف ظل بايد تا به اندازه اى باشد كه شعاع دائره اطول از ا ب نشود كه دائره از شاخص بيرون رود. و بنابر اين، بيان مراد از عبارت ديگرش كه فرمود: دائره اى به هر قدر كه بخواهيم بر آن ترسيم مى كنيم، نيز روشن مى گردد.
اما در بيان برهان گوييم:
شاخص هميشه موازى جيب قوس ارتفاع است لذا همواره از شاخص و قطر ظل و جيب ارتفاع و فصل م‏شترك بين سطح افق و بين سطح دائره ارتفاع، دو مثلث متشابه حادث مى گردند.
همان شكل بالا را اعاده مى نمائيم و بعد از آن گوييم (ش 5):
دائره وم رح ه دائره ارتفاع و ر سمت الرأس وه سمت قدم. و م مركز شمس، وم و قوس ارتفاع، وم ط جيب ارتفاع كه موازى شاخص است. و شعاع م حل ب قطر ظل مثلث م ط ب است در صورتى كه جيب را به منزله شاخص فرض كنيم.
                        تعيين خط زوال، ص: 29
و ح ل ب قطر ظل مثلث ح ا ب‏
و و ب ح فصل مشترك بين سطح افق و بين سطح دائره ارتفاع.
زاويه م ب و مشترك در هر دو مثلث مذكور است. و چون شعاع م ح ل ب قاطع دو خط متوازى شاخص و جيب ارتفاع است دو زاويه ب ح ا ب م ط مساوى يكديگرند. به شكل كط مقاله اولى اصول، و دو زاويه ب ا ح ب طم قائمه اند، پس دو مثلث نامبرده به شكل چهارم مقاله ششم اصول متشابه اند.
پس اگر به اندازه شاخص بر سطح موزون زمين از محل قاعده شاخص، خطى بر خط ظل عمود كنيم (به شكل يا اولى اصول) و از طرف اين خط كه حرف د است تا به طرف ظل كه حرف ب اعنى مركز دائره است، خطى مستقيم رسم كنيم، دو مثلث ب ح ا ب د ا باهم مساوى خواهند بود، پس با مثلث م ط ب متشابه است، و چون زاويه ب مركزى است پس دو قوس ل ى م و با هم به حسب درجه متساوى اند، پس قوس ى ك در مثلث ب د ا نيز با آن دو قوس به حسب درجه متساوى است، نتيجه اين كه درجات قوس ى ك به اندازه درجات قوس ارتفاع شمس در وقت مفروض است.
و تو را رسد كه گويى تشابه مثلثين را دخلى در برهان نباشد هر چند خالى از لطف نيست، و همان صرف دانستن توازى شاخص و جيب ارتفاع و تقاطع شعاع و تساوى سه قوس م ول ى ى ك كافى‏
                        تعيين خط زوال، ص: 30
است.
اين بود برهانى كه شيخ بهائ‏ى زاده الله تعالى بهاءا فرمود: كشكول گنجايش آن را ندارد. پس معلوم شده است كه كشكول اين حقير، اكبر از كشكول آن كبير است، اگر چه هيچگاه به پايه ارزش آن نمى رسد.
                        تعيين خط زوال، ص: 31
فصل 10 در عمل به دائره هنديه‏
دائره هنديه:
چنان كه در صدر اين رساله گفته ايم، عمل به دائره هنديه در كتب و رسائل فقهيه و هيويه در تحصيل خط زوال و خط مشرق و مغرب اعتدال و خط سمت قبله از آن، در السنه علما دائر و سائر است و مشهورتر از ديگر طرق است و وجه تسميت آن به هنديه به اين جهت است كه اختراع آن منسوب به دانشمندان هند است. چنان كه فاضل بيرجندى در شرح تذكره بدان تصريح فرموده است.

و همچنين ابوريحان بيرونى در رساله افراد المقال فى امر الضلال ( [: «1» العمل المعروف بالدائرة الهندية و انما نسبت اليهم لا نها فى زيج الاركند و زيجات الهند و حساباتهم اول ما وقع الى مملكة الاسلام من امثالها] (.
عمل دائره هنديه:
و آن چنين است كه زمين را يا سطوح بالاى مكانات را چنان كه گفته ايم، نيك هموار سازند كه موازى افق قرار گيرد و مقياسى بدان‏
__________________________________________________
 (1) ص 106، طبع حيدر آباد.
                        تعيين خط زوال، ص: 32
صفت كه در پيش وصف شد، نصب كنند و بر مغرز مقياس به هر بعدى كه بخواهند، دائره اى رسم كنند و هر اندازه كه دائره وسيع تر باشد، عمل در آن دقيق تر خواهد بود.
و ظاهر است كه هر گاه آفتاب قريب به افق شرقى باشد، ظل اين مقياس بيرون دائره واقع مى شود و چندان كه ارتفاع آفتاب متزايد گردد، ظل مقياس متناقص مى گر دد تا زمانى فرا رسد كه رأس ظل منطبق بر محيط دائره شود، پس بر محيط دائره به نقطه انطباق رأس ظل نشان كنند و آن نشان بايد كه بر منتصف طرف ظل بود، چه طرف ظل را لامحاله انبساطى باشد، و آن نقطه را مدخل ظل نام نهند.
بعد از آن مترصد باشند تا ظل در اندرون دائره آيد تا بعد از آن كه به غايت قصير شده، متزايد گردد و بار دوم رأس ظل بر محيط همان دائره رسد و بر اين نقطه انطباق كه منتصف طرف ظل است نيز نشان كنند و آن را مخرج ظل نامند.
آنگاه ما بين هر دو علامت، به خطى مستقيم وصل كنند، آن وتر قوس بين دو نشانه ياد شده از محيط آن دائره است.
و چون ميان دو طرف اين قوس و ميان مركز قاعده مقياس را به دو خط مستقيم وصل كنند، زاويه اى بر مركز دائره حادث شود پس چون آن زاويه را، يا آن وتر را، يا آن قوسى را كه ميان دو نشان ياد شده محصور است، تنصيف كنند و از منتصف هر يك خطى كشند كه به مركز دائره گذرد آن خط، خط نصف النهار است كه آن را خط زوال نيز مى نامند.
                        تعيين خط زوال، ص: 33
و چون خط نصف النهار را از دو جانب به محيط دائره هنديه اخراج كنند، آن نقطه تقاطع خط زوال با محيط دائره كه در جانب جنوب بود، نقطه جنوب باشد، و نظيرش در جانب شمال نقطه شمال.
و چون خطى ديگر از مركز قاعده مقياس بر خط نصف النهار قائم گردانند، آن خط مشرق و مغرب باشد، از اين روى فصل مشترك ميان معدل النهار و افق است. و نقطه تقاطع اين خط با محيط دائره هنديه در جانب شرق مشرق اعتدال بود، و نقطه تقاطع اين خط با محيط دايره در جانب غرب مغرب اعتدال بود، و آن را خط اول السموت نيز گويند به جهت اين كه در تحت دائره اول السموت و فصل مشترك م‏يان سطح دائره اول السموت و افق نيز مى باشد.
تبصره:
فاضل بيرجندى در شرح زيج الغ بيگ و در شرح تذكره گويد كه:
خط اول سموت، فصل مشترك ميان دائره اول السموت و افق است. و ملا على قوشچى در شرح همان زيج گويد كه ( [: فصل مشترك ميان معدل النهار و افق است‏] (و اين هر دو قول صحيح است و اختلاف لفظى است زيرا خط مشرق و مغرب در صفحه دائره هنديه، مانند صفايح اسطرلاب، به منزله خط استواء است و آن در سطح معدل النهار است منتهى اين كه به قول برجندى خط مشرق و مغرب فصل مشترك دو سطح قائم بر يكديگر مى باشد كه يكى اول السموت‏
                        تعيين خط زوال، ص: 34
و ديگر افق است، و به قول قوشچى آن خط فصل مشترك دو سطح مايل يكى معدل النهار و ديگر افق در آفاق غير استوائى، و لازم نيست كه خط فصل مشترك بايد بين دو سطح قائم باشد، كما لايخفى على الخبير، و بالجمله خط مشرق و مغرب فصل مشترك بين دائره اول السموت و معدل النهار و افق است.
تبصره:
آن خط فصل مشترك بايد از مركز زمين بگذرد كه مركز دوائر عظام است نه از مركز دائره در سطح زمين، و لكن چون نصف قطر زمين را در اين اعمال قدر معتنى به نيست لذا در عمل اخلالى روى نمى آورد و بدان اعتناء نمى شود.
                        تعيين خط زوال، ص: 35
فصل 11 مراعات شروطى در عمل به دائره هنديه‏
مراعات شروطى در عمل به دائره هنديه براى تصحيح خط نصف النهار
براى تحصيل خط نصف النهار مقرون به صحت و مطابق واقع تقريبا، مراعات چند شرط ضرورى است كه به بيان آنها مى پردازيم:
صحت عمل به دائره هنديه براى تحصيل خط زوال مبتنى است بر اين كه شمس در حين وصول رأس ظل به محيط دائره، قبل از زوال و بعد از زوال بر يك مدار از مدارات يومى موازى با معدل النهار باشد، و به عبارت اخرى بر يك مقنطره از مقنطرات باشد تا هر دو ارتفاع آن در دو وقت ياد شده متساوى و بر بعد واحد از نصف النهار باشند. و اين معنى على التحقيق حاصل نمى شود مگر اين كه وصول شمس به نصف النهار در يكى از دو انقلاب صيفى و شتوى باشد، و اين نادر الوقوع است، و معلوم است كه ميل شمس از معدل النهار دائما در تغيير است و به خصوص جاهايى از دائره شمسيه يعنى منطقة البروء كه از منقلبين دور است و دو نقطه اعتدالين در منتصف است يعنى حوالى اعتدالين، از اين جهت فصول مشترك بين سطوح‏
                        تعيين خط زوال، ص: 36
مدارات و بين سطح افق موازى خط اعتدال نمى گردند. و به بيان روشن تر شمس در يك مدار ثابت موازى معدل النهار نمى باشد، بلكه خطوطى لولبى رسم مى كند كه بدين سبب سعه مشرق آن با سعه مغرب آن در يك روز باهم متفاوتند، لذا براى قرب عمل دائره هنديه به تحقيق امورى چند، يعنى همان شروط بايد مراعات شود:
1 شمس در يكى از دو انقلاب و يا قريب به آن دو باشد، به علت اين كه حركت ميل مخل به موازات مذكور، در اين هنگام بطيى ء است، و مطلوب كه حصول تساوى ظلين در دو ارتفاع متساوى قبل از زوال و بعد از زوال است، حاصل مى شود. به خصوص اگر شمس در حوالى اعتدالين باشد چون ميل آفتاب در آنجا سريع ازدياد است در عمل تفاوت فاحش روى مى آورد.
ب شمس در انقلاب صيفى باشد، زيرا كه ظل در انقلاب صيفى به علت صفاى هوا و شدت شعاع و قلت عوارض، أبين و أوضح است.
تعبير به انقلاب صيفى بهتر از تعبير به وصول شمس به سرطان است، زيرا كه جامع آفاق شمالى و جنوبى هر دو است. ولكن حين وصول شمس به سرطان، اول صيف آفاق شمالى و اول شتاء آفاق جنوبى است، و حين وصول شمس به جدى به عكس آن است پس در اين صورت، بايد براى هر يك از آفاق شمالى و جنوبى به تفصيل اين چنين گفت: شرط ديگر اين كه شمس حين وصول آن به سرطان در آفاق شمالى، و حين وصول آن به جدى در آفاق جنوبى باشد.
                        تعيين خط زوال، ص: 37
ج شمس قريب به افق نباشد، زيرا در اين صورت اطراف ظل پراكنده خواهد بود و به همين سبب تشتت و تفرق ظل، تحقق اطراف ظل صورت نمى گيرد يعنى به حقيقت و درستى تعيين طرف ظل به وقوع نمى پيوندد. و به عبارت ديگر اگر شمس قريب به افق باشد، طرف ظل پراكنده خواهد بود و تعيين رأس ظل به دقت انجام نمى گيرد.
د شمس قريب به نصف النهار نباشد زيرا كه در اين هنگام تقلص و انبساط ظل در قرب به نصف النهار به خصوص در انقلاب صيفى، بطيى ء است بنابر اين تعيين وقت دخول و خروج ظل به درستى صورت نمى پذيرد. و به عبارت اخرى به جهت قلت ازدياد و نقصان ظل در حوالى نصف النهار، دخول ظل در دائره و خروج آن از وى نيكو مبين نشود.
ه قوس بين مدخل و مخرج ظل از دائره هنديه آن قوسى كه رأس ظل در محاذات آن سير مى كند، اصغر از نصف دور باشد. بيانش اين كه مدار يومى شمس در منقلب صيفى و قريب به آن، در آفاق مائله بيش از نصف دور است و هر چه عرض بلاد و آفاق بيشتر باشد، مدار يومى بيشتر خواهد بود لاجرم سعه مشرق و مغرب نيز بيشتر خواهد بود تا به حدى كه مدار يومى شمس اعظم مدارات ابدى الظهور مى شود، لذا هنگامى كه شمس مثلا شمالى است، در آفاق شمالى امكان دارد كه ارتفاع شمس را قبل از زوال ارتفاعى معتنى به باشد و رأس ظل را در محيط دائره نقطه مدخل باشد و بعد از زوال نيز
                        تعيين خط زوال، ص: 38
در همان ارتفاع رأس ظل را در محيط دائره نقطه مخرج خواهد بود و قوس بين مدخل و مخرج ظل بيش از نصف دور باشد، و يا به قدر نصف دور باشد، و در هر دو صورت مقدارى انحراف مدار شمسى كه در اصطلاح دائر گويند، از موازات معدل النهار لازم آيد، و در صورتى كه آن قوس دائره كمتر از نصف دور باشد قوس دائر از هنگام مدخل ظل تا هنگام مخرج ظل، از موازات معدل النهار از انحراف مذكور مصون تر خواهد بود و با رعايت اين شرط عمل از شائبه تقريب خالى تر گردد، چنان كه فاضل قوشچى در شرح باب پانزدهم از مقالت دوم زيج الغ بيك بدان تصريح نموده است و ابوريحان بيرونى در رساله افراد المقال «1» بدان ايماء و اشارتى دارد.
__________________________________________________
 (1) ص 112.
                        تعيين خط زوال، ص: 39
فصل 12 در رد ايرادى بر عمل به دائره هنديه‏شاه مير در شرح فارسى هيأت قوشچى پس از ذكر شروط اربعه فوق گويد: پنجم آن كه قوس واقع ميان طرفين ظل از نصف دائره كمتر باشد تا زاويه عندالمركز حاصل آيد. و اين قيد را علامه مدقق نيشابورى زياده نموده. و مخفى نيست كه اين گاهى است كه به طريق تنصيف زاويه عمل نمايند. اما اگر به طريق تنصيف قوس واقعه بين العلامتين عمل نمايند، احتياج به اين شرط نيست چه هر گاه خطين سمت ظل در مركز دائره متحد شوند، هر آينه مجموع قطر دائره گردد. پس چون خطى ديگر بر آن عمود سازند، لا محاله منتصف قوس واقع ميان طرفين وى باشد و خط اول خط اعتدال و خط ثانى نصف النهار بود والله اعلم.
اين بود بيان شاهمير در پيرامون عبارت نيشابورى كه تقديم داشته ايم. ولى عبارت نيشابورى مطابق چهار نسخه مخطوط از شرح تذكره وى كه تعلق به راقم دارد، اين است:
 ( [و لا ريب ان صحة هذه الاعمال مبنية عل‏ى توازى المدارات و موازاتها لمعدل النهار و انها ليست حاصلة بالحقيقة لمكان حركة
                        تعيين خط زوال، ص: 40
الشمس لكنها اذا روعيت شرائط معدودة قرب العمل من التحقيق، احديها ان ترسم الدائرة بحيث تكون القوس الواقعة بين مدخل الظل و مخرجه منها اصغر من نصف الدور و هذه ايضا هى الموجبة لا حاطة سمتى الظلين بزاوية] (.
سخن نيشابورى اين است كه صحت اين اعمال دائره هنديه مبتنى بر توازى مدارات يومى با يكديگر، و موازات آنها با معدل النهار است، و بر اثر حركت شمس و تغيير ميل، اين توازى و موازات به حقيقت و درستى حاصل نمى شود. و لكن چون شرائطى مراعات شود، عمل به دائره هنديه، قريب به تحقيق خواهد بود يكى اين كه عمل به دائره هنديه طورى صورت گيرد كه قوس ميان مدخل و مخرج ظل اصغر از نصف دور باشد. و مراعات اين شرط موجب احاطه دو سمت ظل شاخص يعنى دو خط ظل مقياس به زاويه نيز خواهد بود.
چنان كه در عبارت نيشابورى ملاحظه مى فرمائيد، وى پس از بيان مراعات شرط مذكور و اتمام آن گفته است: كه مراعات اين شرط موجب احاطه دو خط ظل شاخص به زاويه نيز خواهد بود. يعنى مراعات اين شرط علاوه بر اين كه تا حدى مفيد موازات مدار يومى شمس با معدل النهار مى شود، موجب احاطه دو خط ظل به زاويه نيز مى گردد، نه اين كه مراعات اين شرط فقط براى صورت گرفتن احاطه دو سمت ظل به زاويه بوده باشد چنان كه شاهمير فهميده است و بر نيشابورى ايراد گرفته است.
                        تعيين خط زوال، ص: 41
و كلمه ( [ايضا] (در عبارت مذكور نيشابورى، اشاره به عمل ديگر قبل از آن است كه خواجه در متن تذكره در معرفت خط نصف النهار دستور داده است كه: يرصد ارتفاعان متساويان للشمس فى يوم واحد عن جنبتى غاية ارتفاعها و يخط على ارض مستوية سمتا ظليهما عن مقياس واحد ثم تنصف الزاوية الحادثة بينهما بخط فيكون ذلك الخط فى سطح دائرة نصف النهار و يسمى خط نصف النهار، و القائم عليه عمودا يكون فى سمت دائ‏رة اول السموت.
تنها عذرى كه از قبل شاهمير توان گفت اين كه، كلمه ايضا در عبارت نيشابورى از نسخه او ساقط بوده است، ولى چنان كه گفته ايم هر چهار نسخه شرح تذكره نيشابورى متعلق به اينجانب چنان است كه مرقوم داشته ايم.
                        تعيين خط زوال، ص: 43
فصل 13 كلام فاضل قوشچى در عمل به دائره هنديه‏
فاضل قوشچى را در شرح زيج الغ بيگ در شرح و تفصيل شرط اخير كه قوس ياد شده ميان مدخل و مخرج رأس ظل مقياس كمتر از نصف دور باشد بيانى مفيد است كه نقل آن را مناسب ديده ايم:
 ( [پوشيده نماند كه بناى صحت اين عمل بر آن اس‏ت كه آفتاب را بر يك مدار ثابت تصور مى كنند، و شك نيست كه آفتاب، به سبب حركت خاصه خود بر يكى مدار ثابت نمى ماند بلكه در هر آنى به مدارى ديگر منتقل مى شود اما هر گاه كه شرائطى چند را رعايت كنند، عمل از شائبه تقريب خالى تر گردد:
يكى آن كه قوسى كه ميان مدخل و مخرج ظل است از دائره هندى، يعنى آن قوس كه از هنگام مدخل ظل تا هنگام مخرج ظل اجزاى آن در محاذات طرف ظل مى افتد، به حسب هر آنى كمتر از نصف دور باشد تا قوسى را كه دائر است از هنگام مدخل ظل تا هنگام مخرج ظل از موازات معدل النهار، انحراف بسيار لازم نيايد چه مدار يومى آفتاب اگر در جنوب معدل النهار بود، فصل مشترك ميان‏
                        تعيين خط زوال، ص: 44
مدار و ميان افق در جنوب خط مشرق و مغرب باشد، پس مادام كه آفتاب در نصف شرقى باشد، تقاطع دائره ارتفاع او با افق كه آن را نقطه سمت گويند، در ربع شرقى جنوبى باشد از دائره افق، و به اين سبب سمت ظل در مقابل اين ربع باشد از دائره هندى، يعنى ربع غربى شمالى، و مادام كه آفتاب در نصف غربى باشد نقطه سمت در ربع غربى جنوبى باشد و به اين سبب سمت ظل در ربع مقابل بود از دائره هندى، يعنى ربع شرقى شمالى پس مابين مدخل ظل از ربع اول، و مابين مخرج ظل از ربع دوم لامحاله كمتر از نصف دور بود به ضرورت، خواه مقياس طويل باشد و خواه قصير، و خواه دائره هندى عظيم باشد و خواه صغير.
و اگر مدار يومى آفتاب نفس معدل النهار باشد، سمت ظل در دو وقت طلوع و غروب متطابق بود با خط مشرق و مغرب و در باقى روز بر همان منوال باشد كه گفتيم بعينه الا در خط استواء كه آن روز ظل از تطابق زايل نشود.
و اگر مدار يومى آفتاب در جانب شمال بود، از معدل النهار گوييم: دائره اول سموت مدار را قطع كرده باشد يا نه، اگر قطع نكرده باشد مادام كه آفتاب در نصف شرقى بود نقطه سمت در ربع شرقى شمالى باشد از دائره افق، و سمت اين ظل در مقابل اين ربع، يعنى در ربع غربى جنوبى از دائره هندى و مدخل ظل هم در آن ربع تواند بود. و مادام كه آفتاب در نصف غربى باشد نقطه سمت در ربع غربى شمالى بود از افق و سمت ظل در مقابل آن در ربع شرقى جنوبى از
                        تعيين خط زوال، ص: 45
دائره هندى و مخرج ظل هم آنجا تواند بود پس ما بين مدخل و مخرج ظل كه در جانب جنوب است از دائره هندى كمتر از نصف دور باشد.
و اگر دائره اول سموت، مدار شمالى آفتاب را چنان كه در معظم عمارت است، قطع كرده باشد مادام كه آفتاب ما بين مطلع مدار و تقاطع مدار با دائره اول سموت باشد در جانب مشرق نقطه سمت از ربع شرقى شمالى باشد و سمت ظل در مقابل آن از ربع غربى جنوبى از دائره هندى و چون به تقاطع رسد، نقطه سمت بر نقطه مشرق اعتدال منطبق شود و سمت ظل بر خط مشرق و مغرب و از موضع تقاطع تا نصف النهار نقطه سمت در ربع شرقى جنوبى باشد و سمت ظل در مقابل، در ربع غربى شمالى از دائره هندى و از نصف النهار تا موضع تقاطع دوم نقطه سمت در ربع جنوبى غربى باشد و سمت ظل در ربع مقابل يعنى در ربع شرقى شمالى از دائره هندى. و از موضع تقاطع دوم تا مغيب مدار نقطه سمت در ربع غربى شمالى باشد و سمت ظل در ربع مقابل، يعنى در ربع شرقى جنوبى.
پس ظاهر شد كه در اين وضع سمت ظل در محاذات دو ربع تمام واقع مى شود از ارباع دائره هندى و آن نصف شمالى است، و از دو ربع باقى در محاذات بعضى كه متصل است به دو ربع مذكور پس قوسى كه ما بين مدخل و مخرج ظل باشد، ممكن بود كه بيشتر از نصف دور بود به نسبت با يكى از اين دوائر كه مرسوم اند بر مركز قاعده مقياس.
                        تعيين خط زوال، ص: 46
و چون ظل مقياس متناقض است در نصف شرقى و متزايد در نصف غربى پس اعتبار مدخل و مخرج به نسبت با دائره صغيرتر كه ما بين المدخل و المخرج از آن دائره كمتر از نصف دور بود اولى باشد از آن كه به نسبت با دائره عظيمه كه ما بين المدخل و المخرج از آن دائره، بيشتر از نصف دور بود تا دائرتين زمانى المدخل و المخرج را، انحراف از موازات كمتر لازم آيد. و در جميع اوضاع قوسى كه مابين المدخل و المخرج افتد چندان كه كمتر باشد عمل به تحقيق نزديكتر بود] (.
                        تعيين خط زوال، ص: 47
فصل 14 در توضيح كلام فاضل قوشچى‏
اين بود كلام فاضل قوشچى كه از شرح وى بر زيج الغ بيگ نقل كرده ايم، و در توضيح بعضى از مطالب وى گوييم:
آن كه گفته است ( [: اگر مدار يومى آفتاب در جانب شمال بود از معدل النهار مى گوييم دائره اول سموت مدار را قطع كرده باشد يا نه، اگر قطع نكرده باشد] (بيانش اين كه مداراتى كه در جهت قطب ظاهراند چون بعد يكى از آنها كمتر از عرض بلد بود آن مدار در دو نقطه فوق الارض يكى شرقى و ديگرى غربى، مقاطع دائره اول سموت شود. و چون آفتاب به يكى از آن دو نقطه رسد، دائره اول السموت دائره ارتفاع شود و خط ظل كه بر فصل مشترك است ميان دائره ارتفاع و سطح افق منطبق شود بر فصل مشترك ميان اول سموت و افق و آن خط اعتدال است.
آن كه گفته است ( [: پس قوسى كه ما بين مدخل و مخرج ظل باشد، ممكن بود كه بيشتر از نصف دور بود به نسبت با يكى از اين دوائر كه مرسوم اند بر مركز قاعده مقياس‏] (بيانش اين كه فاضل قوشچى در عمل دائره هندى چندين دائره ترسيم مى كند كه لامحاله‏
                        تعيين خط زوال، ص: 48
بعضى خردتر و بعضى بزرگتر خواهد بود، كه يكى از آنها مساوى قاعده مخروط مقياس باشد و برخى از آن بزرگ تر كه سايه مقياس وارد دائره شود.
و در اين شرط پنجم خلاصه كلامش اين است كه چون سعه مشرق شمالى در آفاق شمالى به غايت رسد، امكان دارد كه بين مدخل و مخرج ظل در بعضى از دوائر مرسوم بر آن سطح مستوى، بيش تر از نصف دور باشد كه شمس قهرا قريب به افق مى باشد، و چون تا حدى بر آيد كه مدخل و مخرج ظل در دائره خردتر افتد ما بين آن دو از اولى كمتر باشد، و هكذا تا در دائره اى كه بين آن دو از نصف دور كمتر باشد و زياد مخل به موازات نباشد و عمل به تحقيق نزديك تر باشد.
                        تعيين خط زوال، ص: 49
فصل 15 كلام بيرونى در تصحيح عمل به دائره هنديه‏
تبصره:
ابوريحان بيرونى در افراد المقال فى امر الظلال «1» و در قانون مسعودى (2) و نيشابورى در شرح مجسطى، در تصحيح عمل به دائره هندى براى تعيين و تحقيق خط زوال، دقتى اعمال نموده اند كه تعديل در عمل شود، عبارت بيرونى اين است:
 ( [و لتصحيح هذا العمل ان يعرف الارتفاع من ظل المدخل و يعرف بعد الوقت عن نصف النهار فيكون بعد وقت المخرج عنه مثله فى الحس و يستخرج ميل الشمس لوقتئذ و لا سمت لكلاالوقتين و يؤخذ فضل ما بين السمتين و بعد من علامة المخرج نحو الجنوب ان كانت الشمس صاعدة من اول الجدى الى آخر الجوزاء، و نحو الشمال ان كانت هابطة فى النصف الاخر فيكون المنتهى علامة المخرج المصحح و حينئذ يوصل بينها و بين علامة المدخل و يعمل بالوتر ما تقدم‏] (انتهى.
__________________________________________________
 (1) ص 115 ط حيدر آباد دكن. 2 ص 449، ج 1، حيدر آباد دكن.
                        تعيين خط زوال، ص: 50
بيرجندى در شرح زيج الغ بيك همين گفتار ابوريحان را ترجمه كرده است و مرادش از بعض ابوريحان است و عبارتش اين است:
و بعضى به جهت تصحيح عمل از آلت صحيحه در وقت مدخل ظل، ارتفاع معلوم كنند و از آن ارتفاع سمت آن و ساعات بعد از نصف النهار معلوم كنند، و بعد وقت مخرج از نصف النهار به همين قدر بود تقريبا. و سمت آفتاب در آن وقت نيز معلوم كنند و تفاضل ميان آن هر دو سمت بگيرند و به قدر فضل از علامت مخرج به جانب جنوب بشمارند، اگر آفتاب در نصفى بود كه اول حمل منتصف آن است، و به جانب شمال اگر در آن نصف ديگر بود، آنجا كه برسد علامت مخرج مصحح بود، و اين سخن صحيح است ليكن تفاوت بين السمتين در اين وقت از آن قبيل نيست كه در محيط دائره هنديه محسوس شود. انتهى.
بيان:
شمس از اول جدى تا آخر جوزا به سوى شمال مى آيد و آخر جوزا منتهاى بعد شمالى او است كه شمس در اين نصف دور صاعد است و اول حمل منتصف اين نصف است، و در اين نصف هر چند از اول جدى تا اول حمل جنوبى است يعنى در جنوب معدل النهار است ولى صاعد است و به سوى شمال مى آيد.
و در نصف ديگر كه از اول سرطان تا آخر قوس است هابط است و به سوى جنوب مى رود و آخر قوس منتهاى بعد جنوبى او است، هر چند از اول سرطان تا اول ميزان شمالى است يعنى در
                        تعيين خط زوال، ص: 51
شمال معدل النهار است ولى به سوى جنوب نزديك مى شود، از اين روى چون ميل شمس در هر آن در تغيير است پس قرب او به جنوب در آن نصفى كه حمل در منتصف او است در قبل از ظهر بيشتر از بعد ازظهر است، و در نصف ديگر قرب او به شمال در قبل از ظهر بيشتر از بعدازظهر است لذا گفته است كه در نصف اول كه شمس صاعد است بقدر فضل بين السمتين به سوى جنوب، و در نصف ديگر كه شمس هابط است به سوى شمال بشمارند، و ليكن همانطور كه برجندى گفته است تفاوت بين السمتين در اين فاصله بدان حد نيست كه در محيط دائره هنديه محسوس شود.
                        تعيين خط زوال، ص: 53
فصل 16 صورت دايره هنديه‏
صورت دائره هنديه‏
فرض كنيم (ش 6): دائره ا ب ح د دائره اى در سطح مستوى موزون موازى افق به اوصافى كه گفته ايم بر مركزه رسم كرده ايم. وه و مقياس مخروط به شرائطى كه وصف كرده ايم. و سايه شاخص را در نصف اول روز يعنى قبل از ظهر مترصد بوديم تا از امتداد آن كم كم كاسته شد و در نقطه ر مماس با دائره شد، پس بر منتصف ظل در آن نقطه علامتى گذاشته ايم. سپس ظل رو به انتقاص رفته تا وارد دائره شد و به نهايت قصر رسيد و به سوى مشرق ميل كرد و رو به ازدياد نمود كه شمس از دائره نصف النهار گذشته به سوى مغرب شد، پس امتداد ظل آنا فانا زياد شده است تا در نقطه ح مماس به همان دائره شده است.
ارتفاع شمس در آن دو نقطه از دو طرف دائره نصف النهار به يك حد است و دائره نصف النهار در ميان آن دو است. پس بين آن دو نقطه را به خط رح وصل كرده ايم كه وتر دو قوس ر دح ر ب ح شده است.
                        تعيين خط زوال، ص: 54
پس اين وتر را، يا قوس ر دح را، يا قوس مقابل آن را كه ر ب ح است، يا زاويه ره ح را تنصيف كرده ايم، و از مركزه از منتصف هر يك از آنها خط ب د وصل ك‏رده ايم كه خط نصف النهار است.
سپس از مركز دائره خط ا ه ح كه قطر ديگر دائره مى شود، بر آن عمود كرديم و اين خط مشرق و مغرب اعتدال است كه آن را خط اول السموت نيز گويند، و نقطه ب جنوب و نقطه د شمال و نقطه ا مشرق و نقطه ح مغرب است.
                        تعيين خط زوال، ص: 55
تبصره:
تنصيف زاويه به شكل نهم مقاله اولى اصول، و تنصيف قوس به شكل بيست و نهم مقاله ثالثه آن بايد نمود.
به طريق ديگر نيز تنصيف قوس امكان دارد، و آن اين كه (ش 7): هر يك از دو طرف قطر دائره را مثلا ا ح خط نصف النهار صورت دائره هنديه نام برده را، مركز دائره قرار داد و به بعد قطر دو دائره رسم كرد كه لا محاله هر دو مساوى هم خواهند بود، و در خارج دائره نخستين يكديگر را در دو نقطه تقاطع خواهند كرد، و چون بين دو نقطه تقاطع آن دو را به خطى مستقيم وصل كنند، موضع تقاطع اين خط با قوس دائره نخستين مثلا هر يك از دو قوس ا ح در صورت دائره هنديه، منتصف آن قوس خواهد بود.
                        تعيين خط زوال، ص: 56
اين طريق را ابوريحان بيرونى در افراد المقال آورده است، و به بلس يونانى و به حيانند باناريسى نسبت داده است. و شبيه اين عمل را اقليدس در شكل اول مقاله اولى اصولى براى تحصيل مثلث متساوى الاضلاع اعمال نموده است، زيرا هر گاه هر يك از ا و ح و به خط مستقيم وصل شوند مثلث ا ح و متساوى الاضلاع حاصل خواهد شد.
تبصره:
جهات اربع دائره هنديه، چون بر سطح زمين رسم مى شود مطابق وضع طبيعى آن است يعنى نقطه جنوب به سمت بالاى صفحه، و نقطه شمال در مقابل آن به سمت پايين صفحه، و مغرب طرف راست، و مشرق طرف چپ قرار مى گيرد نسبت به كسى كه رو به سوى جنوب ايستاده است.
اما در ترسيم نقشه جغرافيائى، نقطه شمال به بالا قرار مى گيرد و جنوب در ذيل صفحه و مشرق طرف راست و مغرب طرف چپ نسبت به كسى كه رو به سوى شمال مى ايستد.
غرض اين است كه در ترسيم دائره هنديه بر روى صحيفه ها بايد نظم طبيعى آن مراعات شود.
                        تعيين خط زوال، ص: 57
فصل 17 برهان بر خط نصف النهار در دائره هنديه‏
هر كس كه تصور زيادتى ظل و نقصان آن به حسب نقصان ارتفاع و زيادتى آن بنمايد، بر وى معلوم گردد كه اين معنى اعنى خط مذكور در دائره هنديه خط نصف النهار بودن، در وصف وضوح قريب به اوليات است و احتياج به اقامه برهان ندارد، و لكن فاضل قوشچى در شرح زيج الغ بيگ، و فاضل بيرجندى در شرح همان زيج و در شرح تذكره خواجه، و شاهمير در شرح فارسى هيأت قوشچى، و ديگران در كتب مبسوطه براهينى چند اقامه كرده اند، و ما آنچه را كه برجندى در شرح زيج الغ بيگ آورده است نقل مى كنيم كه براى تشحيذ اذهان مفيد، و قابل استفاده براى مستفيد است:
برهان اين عمل موقوف است بر سه مقدمه:
مقدمه اول:
آن كه ظل مستوى هميشه در سطح دائره ارتفاع است بر فصل مشترك ميان سطح دائره ارتفاع و سطح افق با سطح موازى او، و اين به جهت آن است كه مركز مقياس به منزله مركز سطح افق حسى است، پس خطى كه واصل شود از سمت الرأس كه قطب افق است به‏
                        تعيين خط زوال، ص: 58
مركز مقياس عمود بر سطح افق به شكل نهم از اولى اكرثاوذوسيوس. و سهم مقياس نيز عمود است بر آن سطح پس منطبق بود بر آن عمودى كه به سمت الرأس مى گذرد، و چون دائره ارتفاع قائم بر سطح افق است و به سمت راس مى گذرد، به ضرورت به عمود مذكور بلكه به سهم مقياس گذرد، و مركز آفتاب در سطح دائره ارتفاع است پس خطى كه از مركز آفتاب خارج شود و به رأس مقياس و رأس ظل گذرد، در سطح دائره ارتفاع بود.
پس در مثلثى كه از سهم مقياس و خط ظل و قطر ظل حاصل است، دو ضلع كه سهم مقياس و قطر ظل است در سطح دائره ارتفاع بود پس به شكل دوم از مقاله يازدهم اصول، ضلع سوم كه خط ظل است، نيز در آن سطح بود و اين خط ظل در سطح افق با سطح موازى آن نيز هست پس بر فصل مشترك مذكور بود و هوالمطلوب.
مقدمه دوم:
آن كه چون دو ظل يك مقياس كه يكى شرقى بود و ديگرى غربى متساوى باشند، ارتفاع آن دو ظل نيز مساوى بود زيرا كه در دو مثلث كه از سهم مقياس و دو خط ظل متساوى و دو قطر ظل حاصل شده، زاويه تقاطع سهم و خط ظل قائمه است پس به شكل چهارم اولى اصول دو زاويه كه خط ظل و قطر ظل به آن محيط است، در آن دو مثلث نيز متساوى باشند و اين زاويه بقدر قوس ارتفاع است، چه اگر قطر ظل اخراج كنند به مركز آفتاب گذرد. پس به محيط دائره ارتفاع رسد و چون خط ظل اخراج كنند به تقاطع محيط افق و محيط
                        تعيين خط زوال، ص: 59
دائره ارتفاع رسد، پس زاويه مذكور مقدار قوس ارتفاع بود و چون اين دو زاويه در اين دو مثلث متساوى اند پس دو قوس ارتفاع نيز متساوى باشند و هوالمطلوب.
مقدمه سوم:
آن كه از فصل مشترك ميان افق با مقنطرات و نصف النهار و فصل مشترك ميان افق و مقنطره و دو دائره ارتفاع متساوى، دو زاويه متساوى حاصل شود بر مركز افق با مقنطره.
و به جهت بيان آن فرض كنيم (ش 8) كه دائره ا ب ح د افق است بر قطب ه، و ا ه ح نصف النهار.
و ب ح د مدار آفتاب بر قطب ى و ط مركز آفتاب در جانب شرق و ر موضع آن در جانب غرب.