دروس في معرفة الوقت و القبلة، 

[مقدمة المؤلف‏]

بِسْمِ اللَّهِ الرَّحْمنِ الرَّحِيمِ الحمد للّه رب العالمين‏

ثناؤك يا من لا يقدّر ارتفاع كعبة جلاله بمقاييس الحواسّ و العقول.

و لقاءك يا من لا يتطرق الى سمت قبلة وصاله، الانحراف و العدول.

و الصلاة و السلام على شارق سماء الرفعة الذي لا زوال له، و شاخص أفق الحقيقة الذي لا مثال له، المخاطب بقوله جلّ وجهه: ل قَدْ نَرى‏ تَقَلُّبَ وَجْهِكَ فِي السَّماءِ فَلَنُوَلِّيَنَّكَ قِبْلَةً تَرْضاها فَوَلِّ وَجْهَكَ شَطْرَ الْمَسْجِدِ الْحَرامِ‏.

و على آله نجوم بروج التعديل و الاهتداء، و التقويم و الاستواء، و سموت القبلة الحقّة على بسيط الغبراء الذين نطق فيهم القرآن الفرقان ب إِنَّما يُرِيدُ اللَّهُ لِيُذْهِبَ عَنْكُمُ الرِّجْسَ أَهْلَ الْبَيْتِ وَ يُطَهِّرَكُمْ تَطْهِيراً.

و علينا و على جميع من اصطفاهم اللّه تعالى و اجتبى ما يصلّى العباد شطر البيت العتيق و يحجّونه من كل فجّ عميق.

و بعد فيقول الفقير الراجي ربّه ذا الرحمة الغني الملّي حسن بن عبد اللّه الطبري الآملي المدعوّ بحسن زاده آملي عاملهما اللّه و جميع المؤمنين بلطفه الخفي و الجليّ.

هذا كتابنا ينطق عليكم بالحق فيما لا بدّ منها لبغاة العلم من معرفة مسائل الوقت‏

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 4

و القبلة و ما يتعلق بهما و منضمّا منضدا على دروس تسهيلا، للتعلّم و التعليم فسميناه دروس معرفة الوقت و القبلة ذلك تقدير العزيز العليم.

و اللّه تعالى أسأل العصمة من الخلل و الزلل، و أشكره على ما رزقنا من مائدة جوده و عطائه، و مأدبة فيضه و نواله حيث عطف علينا قلوب جمّ غفير من حماة دينه القويم، و وفقنا بالاستفادة من مجالس إفاضاتهم، و محافل دراساتهم جزاهم اللّه تعالى عنّا خير جزاء المعلّمين إن شاء اللّه لا يضيع أجر من أحسن عملا.

منهم العلامة ذو الفنون جامع العلوم العقلية و النقلية و الأستاذ المختص في الرياضيات العالية و الخرّيت في علم الفلك و صناعة الآلات الفلكية و صاحب الآثار المنيفة القلميّة في الشعوب العلميّة الحاج ميرزا أبو الحسن الشعراني رفع اللّه تعالى درجاته و أفاض علينا من بركات أنفاسه و هذه الدروس العلية المنيفة من رشحات فيوضاته الشريفة، و ان كان من علل و أسباب ظاهرية لأن علّة العلل و مسبب الأسباب و المفيض الواهب على الإطلاق هو اللّه جلّ جلاله و عمّ نواله، ذلك فضل اللّه يؤتيه من يشاء و اللّه ذو الفضل العظيم.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 5

درس 1 [في أن معرفة الوقت و سمت القبلة مبتنية على أمور و بيان جملة من المقدمات‏]

اعلم أن معرفة الوقت و سمت القبلة و تعيين خط الزوال و ما يتعلق بها مبتنية على أمور لا بدّ من العلم بها و هي ما يلي:

الف- علم الهيأة

لأنّ جلّ طرق معرفة القبلة و تعيين خط الزوال مبتنية على استدارة الأرض، و معرفة الدوائر العظام و الصغار، و ارتفاع الكواكب سيما الشمس و نسبتها الى الآفاق في أعظم ارتفاعاتها، و معرفة الأظلال و العروض و الأطوال و غيرها مما هي مبرهنة في ذلك العلم و سنتلو عليك طائفة منها في الدروس الآتية ان شاء اللّه تعالى.

ب- علم الهندسة

سيما المثلثات منه لأن كثيرا من طرقها التحقيقية موقوفة على رسم المثلثات الكروية و أعمال الجيب و الظل و غيرها من القواعد الهندسيّة و بدونها لا يتمّ العمل و لا يحصل الوصول إلى الأمل.

ج- علم الجغرافيا،

لأنّ معرفة الأمور المذكورة موقوفة على العلم بأطوال البلاد و عروضها لكي تعلم نسبة البلدان إلى مكة المكرّمة زادها اللّه تعالى شرفا، و جهة القبلة في الآفاق.

د- العلم بأعمال آلات يتوصل بها الى معرفة سمت القبلة

كالعمل بالأصطرلاب،

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 6

و الربع المجيب و الكرة و الزرقالة و الرخام و الحكّ و البوصلة بأنواعها و غيرها.

ه- معرفة عدة من الكواكب‏

لأنها جعلت في طائفة من الأخبار و عبارات الفقهاء و كذا في بعض الطرق الهندسية علامات و طرائق لتعيين القبلة على ما يأتي البحث عنها على التفصيل ان شاء اللّه تعالى.

فلنقدم نبذة منها ممّا ستحتاج إليها في المباحث الآتية فنقول:

1- الجسم له أبعاد ثلاثة

أعنى أن له اقتضائها و الغرض من العناية أن لا ينتقض التعريف بالكرة فالجسم إمّا ينتهي بسطح واحد كالكرة: أو بأكثر، فإمّا في جميع امتداداته كالمكعّب، أو في بعضها كالمخروط و المجسّم المسنّم لأنّ الأوّل ينتهي في أحد طرفي امتداداته بالنقطة و في البواقي بالسطح.

و الثاني ينتهي في أحد طرفي امتداداته بالخط و في البواقي بالسطح فالسطر طرف الجسم و يقال له البسيط أيضا و له طول و عرض لا غير و ينتهي إلى الخط أى له شأنية ذلك و انما فسّرناه كذلك لئلا ينتقض بسطح الكرة فالخط طول فقط و هو طرف السطح و ينتهي إلى النقطة فهي طرف الخط و ليس لها جزء فلا يكون لها بعد.

و الثلاثة من الأشياء التي لها وضع أى يمكن أن يشار إليها بالحسّ فخرج المجرّدات و الآن و الحركة التوسّطية و الوحدة عن تعريف النقطة لأنها ليست من ذوات الأوضاع.

تبصرة: الشيخ الرئيس أطلق البسيط على السطح في الفصل الثامن و العشرين من النمط الأول من الإشارات حيث قال: الجسم ينتهي ببسيطه و هو قطعه، و البسيط ينتهي بخطّه و هو قطعه، و الخط ينتهي بنقطته و هي قطعه.

2- المستقيم من الخطوط

كما عرّفه أرشميدس، على ما في شرح المواقف و شرح البرجندي على تذكرة الخواجه، هو اقصر خط واصل بين النقطتين.

معناه أنه يمكن أن يوصل بينهما بخطوط غير متناهية العدد فما كان منها بحيث لا يمكن أن يكون خطّ أقصر منه فهو المستقيم، و هذا مراد من عرّفه بأنّه‏

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 7

البعد الأقرب بين نقطتين.

و في صدر اولى أصول أقليدس من تحرير المحقق الطوسي هو الذي يمكن وضعه على أن يتقابل أيّ نقطة تفرض عليه بعضها لبعض. و عرّف أيضا بأنحاء أخرى.

و المنحني منها ما ليس كذلك، و المنكسر منها خطوط مستقيمة.

بيان: كلمة أىّ فاعل لقوله يتقابل، و بعضها لبعض تابع لها، فإمّا بدل أو بيان، و ضمير عليه راجع إلى الخط المستقيم. و ترجمة العبارة بالفارسية كما في أول زبدة الهيأة للمحقق الطوسي:

خط مستقيم آن بود كه نقطه‏ها كه بر آن فرض توان كرد برابر يكديگر باشند.

3- خطّان لا يتوافقان في نقطتين منهما بدون أن يتوافقا بالكلية يسميان مستقيمين.

فيعلم منه أن الخطين المستقيمين لا يحيطان بمساحة سطح لأنهما لا يتطابقان في جزء منهما إن لم يتطابقا بالكلّية.

4- المستوي من السطوح هو الذي‏

إذا فرضت فيه نقطتان وقع جميع الخط المستقيم الواصل بينهما فيه و لا يخرج منه.

و في صدر اولى الأصول هو الذي يكون وضعه على أن يتقابل أىّ خطوط يفرض عليه بعضها لبعض.

و عرّفه الخواجه في التذكرة بقوله: و المستوي من السطوح هو الذي تكون الخطوط المفروضة عليه في جميع الجهات مستقيمة.

و للقوم تعاريف أخرى مع نقد و نقض فيها تطلب في المطوّلات.

و المنحني منها ما كان بخلافه.

بيان: تركيب عبارة الأصول على قاعدة النحو كأختها التي تقدمت في الخط.

و معناها أنه إذا أقيمت خطوط مستقيمة على سطح، أعنى أن يكون كل واحد منها عمودا على السطح مجسّما أى فضاء كما يستفاد من قوله: عليه، فان تقابل تلك الخطوط بعضها لبعض فذلك السطح مستو، و إلّا فمنحن. و معلوم أن الخطوط

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 8

القائمة عمودا على نقاط شتّى من السطح المنحني لا يكون بعضها متقابلا لآخر بل يكون كل واحد على سمت مخالف لسمت آخر. و ترجمته بالفارسية:

سطح مستوى آن بود كه خطهايى كه بر آن عمودا فرود آيند همه برابر يكديگر باشند.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 9

درس 2 [في بيان باقي المقدمات‏]

5- الزّاوية على قسمين مسطّحة و مجسّمة،

و تسمى الأولى بسيطة أيضا فالبسيطة- كما في صدر اولى الأصول-: هي المنحدب من السطح الواقع بين خطّين يتّصلان على نقطة من غير أن يتّحدا فمنها مستقيمة الخطّين و غيرها.

و قريب منه ما في التذكرة من أنّها سطح أحاط به خطّان ملتقيان عند نقطة من غير أن يتّحدا خطّا واحدا.

و المجسّمة منها- كما في صدر المقالة الحادية عشرة من أصول أقليدس- هي الّتي تحيط بها زوايا مسطّحة فوق اثنتين تجتمع على نقطة و لا تكون في سطح.

و عرّفها الفاضل كرنيليوس فانديك في الأصول الهندسية بقوله: الزّاوية المجسّمة هي الحادثة من التقاء ثلاث زوايا بسيطة فأكثر ليست في سطح واحد.

و لك أن تقول: إنّها جسم أحاطت به سطوح ملتقية عند نقطة يتّصل كلّ سطحين منها عند خطّ من غير أن يتّحدا سطحا واحدا.

6- النقطة التي يتّصل أو يتقاطع عليها الخطّان هي فصل مشترك لهما،

و كذلك الخط الذي يتصل أو يتقاطع عليه السطحان هو فصل مشترك لهما و على هذا القياس السطح للأجسام.

7- إذا قام خط مستقيم على خط مستقيم آخر

و حدثت عن جنبتيه زاويتان‏

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 10

متساويتان فهما قائمتان و كل واحد منهما عمود على الآخر. و إن لم تحدث زاويتان كذلك فالخط غير عمود على الآخر و كانت الزاويتان معا متساويتين لقائمتين فالصغرى تسمّى حادّة، و الكبرى منفرجة، و القدماء كانوا يسمّون القائمة محدودة لأنّ لها حدّا معينا لا يتجاوزه بمعنى أن الجميع متساوية أفاده الفاضل البرجندي في مقدمات شرح التذكرة.

8- إذا قام خط على سطح‏

بحيث يحيط مع كل خط يخرج في ذلك السطح مماسا له بزاوية قائمة فهو عمود على السطح- كما في صدر الحادية عشرة من الأصول.

و إن شئت قلت: الخط المستقيم القائم على سطح مستو فإن كان بحيث يكون كل خط يفرض في ذلك السطح ملاقيا لذلك الخط تحدث عن جنبتيه زاويتان قائمتان فالخط عمود على السطح و إلا فمائل.

9- إذا قام سطح على سطح بحيث يحيط كل عمودين يخرجان في السطحين من نقطة واحدة

من فصلهما المشترك بزاوية قائمة فالسطحان يحيطان بزاوية قائمة كما في ذلك الصدر أيضا.

و إن شئت قلت: السطح المستوي القائم على سطح مستو فإن كان بحيث إذا أخرج من أية نقطة تفرض على فصلهما المشترك خط عمود على تلك النقطة لا يخرج السطح القائم من ذلك الخط فهو عمود عليه و السطحان يحيطان بزاوية قائمة، و إلّا فمائل و الزاوية ليست بقائمة.

10- الخط الواحد المستقيم لا يتصل بالاستقامة بأكثر من خط واحد

مستقيم غير مسامت بعضها لبعض.

11- كل خطّين وقع عليهما خط

و كانت المتبادلتان من الزّوايا الحادثة متساويتين فهما متوازيان. و قد برهن في السابع و العشرين من أولي الأصول.

و إن شئت قلت الخطان المستقيمان إذا أخرجا في الجهتين إلى غير النهاية فإن لم يلاقيا

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 11

فهما متوازيان، و كذلك الخطوط المستقيمة.

12- و السطوح المتوازية هي التي لا تتماس و لا تتلاقى‏

و إن أخرجت في الجهات إلى غير النهاية.

13- الدائرة شكل مسطّح يحيط به خط واحد

مستدير و في داخله نقطة يتساوى جميع الخطوط المستقيمة الخارجة منها إليه، فذلك الخط محيطها، و تلك النقطة مركزها، و الخطوط أنصاف أقطارها.

14- الخط المستقيم المار بمركز الدائرة

المنتهى في جهتيه إلى المحيط قطرها و هو ينصّفها و يحيط مع نصفي المحيط بكل واحد من النصفين، و الذي لا يمرّ به يسمى وترا و هو يحيط مع قسمي المحيط بقطعتين مختلفتين إحديهما أصغر من النصف، و الأخرى أكبر.

و قد يعرّف الوتر بأنّه الذي يقسم الدائرة بقسمين فان مرّ بالمركز فهو قطر و إلا فليس بقطر. فعلى هذا تكون النسبة بينهما عموما و خصوصا مطلقا.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 13

درس 3 [في بيان باقي المقدمات‏]

15- محيط الدائرة يقسم إلى ثلاثمائة و ستين قسما متساويا

فيسمى كل قسم درجة، و الدّرجة تقسم إلى ستين قسما متساويا فيسمّى كل قسم دقيقة، و الدقيقة إلى ستين قسما متساويا تسمى ثواني و هكذا الثّواني إلى الثّوالث و هي إلى الرّوابع إلى ما تقتضي الحاجة بذلك.

16- الدرجات و الدقائق- إلى آخرها- في قوس هي مقدار الدرجات و الدقائق‏

في الزاوية التي تقيسها تلك القوس، و بعبارة أخرى تقدّر الزّاوية بتقدير قوسها المقابلة لها. مثلا إذا كان هنا مثلث- ا ب ح- فمتى جعلت زاوية منه مركز دائرة، و أخرجت الدائرة ببعد أحد ضلعيه الأصغر المجاور لها مثلا فالقوس التي تلك الزاوية في مركزها هي بقدر تلك الزاوية درجة و دقيقة، و الزّاوية بقدر تلك القوس كذلك ففي هذا الشكل تكون قوس أد مقدار زاوية ب فالملاك جعل الزاوية مركزية لا محيطيّة فتبصّر.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 14

17- العمود الخارج من أحد طرفي القوس على القطر المار بطرفها الآخر

جيب تلك القوس، و تمام ذلك الجيب إلى تسعين درجة جيب تمامها، أعنى أنّ الواقع من القطر بين موقع العمود و المركز مساو لجيب تمامها من الرّبع.

و أهل العصر يسمّون الجيب بسينوس‏Sinus ، و تمامه بكوزينوس‏Cosinus

18- العمود الخارج من منتصف القوس إلى منتصف الوتر سهم القوس‏

فالسّهم جزء من القطر لا محالة. و صرّح المولوي غلامحسين الجونفورى رضوان اللّه عليه في الباب الأوّل من المقالة الثالثة من زيجه القيّم المعروف بالزيج البهادري بأنّ أرباب الأعمال يضيفون السهم إلى نصف القوس و هو جزء من القطر. و لذا عرّفه آخرون بأنّ الجزء الواقع من القطر بين جيب القوس و طرفها يسمّى سهما.

و قد يقال للسّهم الجيب المعكوس قبال الجيب المستوي أي الجيب المقدّم ذكره.

19- الخط المستقيم الذي يماسّ طرف القوس، و يلاقي القطر المارّ بطرفها الآخر يسمّى ظلّ تلك القوس‏

عند القدماء، و مماسّا عند المتأخّرين كما صرح به العالم العامل الكابلي رحمة اللّه عليه في صحيفته المطهرة المسمّاة بتحفة الأجلّة في معرفة القبلة (ص 3 طبع طهران 1319 ه ش)، و الفاضل كرنيليوس فان ديك في أصول الهندسة (ص 251) و مؤلّف كتاب رياض المختار في (ص 205 ط مصر منه).

و الخطّ من القطر الذي وقع بين مركز القوس و ملتقى القطر و المماس يسمى قطر الظّل عند القدماء و قاطعاً عند المتأخرين و أهل العصر يسمّون الظلّ تانژانت‏Tangente ، و تمامه كوتانژانت‏Cotangente ، و قطر الظل زكانت‏Secante ، و تمامه كوزكانت‏Cosecante . أى المماس و تمامه، و القاطع و تمامه.

و برهانه يأتي في البحث عن الظّل إن شاء اللّه تعالى. و لنا كلام في المقام في بدء حدوثه من عمل رسول اللّه صلّى اللّه عليه و آله و سلّم في المدينة المنوّرة على التفصيل الذي ستعلمه بعد، في محلّه.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 15

درس 4 [في بيان باقي المقدمات‏]

20- في مثلث قائم الزاوية كل واحد من الضلعين المحيطين بالقائمة جيب للزاوية

التي يوترها ذلك الضلع، و الآخر جيب تمامها.

فلنأت بشكل توضيحا لما قدمناها، فنقول: مثلث- ا ب ح-، زاوية- ب- منه قائمة، و زاوية- ا- تساوى قوس- ح د- درجة، و ضلع- ح ب- جيب قوس- ح د- أعنى زاوية- أ- و قوس- ح ه- تمام قوس- ح د-، و- ح ط- جيب لها و هو يساوي- ا ب- فاب- هو جيب تمام زاوية- ا- أعنى زاوية- ح.

و- د ح- ظلّ قوس- د ح- أعنى زاوية- ا- في المثلث، و- ه ر- ظلّ قوس- ه ح- أعنى تمام قوس- د ح- فهو ظلّ تمام زاوية- ا- أعنى زاوية- ح- فظلّ كلّ قوس أعنى المماسّ يوازي جيبها.

و- د ب- سهم قوس- د ح- كما أنّ- ه ط- سهم قوس تمامها.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 16

و المثلث القائم الزاوية مفتاح المشكلات لكثير من الإشكال الهندسيّة و إليه يردّ كل مثلث سواه و يستنبط من نسبة أضلاعه بعضها إلى بعض كثير من المجهولات سواء كان مستويا أو على بسيط كرة و يطلب تفصيلها في المطولات و لعلّنا نشير إلى شرذمة منها في الدروس الآتية.

21- الكرة جسم يحيط به سطح مستدير في داخله نقطة يكون جميع الخطوط المستقيمة الخارجة منها إليه متساوية.

ذلك السطح محيطها، و تلك النقطة مركزها، و الخط المستقيم الخارج منها إلى المحيط في الجهتين قطرها. و الخطوط الخارجة أنصاف أقطارها و لا يخفى عليك انّ الدائرة إذا أديرت على قطر من أقطارها دورة واحدة يحصل كرة.

22- كل سطح مستو يقطع الكرة إلى قطعتين‏

يحدث دائرة فيها هي الفصل المشترك بينها، و قد برهن عليه في الأول من اولى أكرثاوذوسيوس، فإن نصفت الدائرة الكرة بحيث تمّر بمركزها فهي أعظم دائرة عليها و يسمّونها الدائرة العظيمة، و إلّا فصغيرة.

23- إذا دارت الكرة على نفسها معتدلا،

أو فرضت متحرّكة كذلك فكل نقطة تفرض عليها ترسم بحركتها في دورة تامّة دائرة هي مدارها، إلّا نقطتين متقابلتين لا تتحرّكان و لا تفعلان دائرة البتة. هاتان النقطتان قطبا الكرة و القطر الواصل بينهما- و هو لا يتحرك أيضا- محورها، و الدائرة العظيمة المتساوية البعد عن القطبين منطقتها، و سائر المدارات دوائر صغار موازية للمنطقة و تسمى المدارات الموازية، و المحور عمود على سطح كلّها، و كلّ مدارين عن جنبتي المنطقة متساويي البعد عنها متساويان، و محور الكلّ من الدوائر و قطباها هو محور المنطقة و قطباها.

بيان: قوله معتدلا، المراد بالاعتدال أن تكون الكرة على محور واحد في دورتها كما بيّنه الفاضل البرجندي في شرحه على التذكرة، و في تعليقته على‏

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 17

الكرة المتحركة لأطولوقس.

لا تتقاطع دائرتان على أكثر من نقطتين كما برهن عليه في العاشر من ثالثة الأصول، فإن كانتا عظيمتين تتناصفان على النقطتين و كان فصلهما خطّا مستقيما مارّا بالمركز، و إن تقاطعا على قوائم تمرّ كلّ واحدة منهما بقطبي الأخرى و بالعكس.

24- الزوايا الثلاث في كل مثلث مستو تعدل قائمتين‏

أي مائة و ثمانين درجة (180) بشكل لب من أولي الأصول فإن كانت احدى زاوييه قائمة فهي تعدل قائمة و كلّ واحدة من الأخريين أقل من قائمة و إلا لزم شموله على أكثر من قائمتين فكل واحدة منهما تمام الآخر إلى تسعين درجة و مجموعهما تعدل قائمة. فتمام كل زاوية هو الباقي من طرح تلك الزاوية من تسعين درجة.

و إنّما قيّدنا المثلث بمستو لأنّ المراد بالمستوى هو المسطح أى أنّ المثلث على البسيط أعنى السطح المستوي زواياه الثلاث مساوية لقائمتين، و أما المثلث على الكرة فجميع زواياه الثلاث أعظم من قائمتين كما بين في يا من أولي أكرمانالاؤوس فالمثلث المستوي مستقيم الأضلاع بخلاف الكروي لأنّ أضلاعها من قسى الدوائر العظيمة على الكرة فتبصّر.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 19

درس 5 [في طائفة من أحكام المثلثات المستوية]

لمّا كان تعيين المسافات البعيدة سيما المسافات السماوية، و كثير من مسائل الوقت و القبلة لا يتيسّر بالطنب و السلاسل و نحوهما، بل لا بد من معرفته بطريق حساب المثلثات لأنّه سلّم الى السّماء و صراط مستقيم للسير على الغبراء، فلازم أن نأتي هيهنا بطائفة من أحكام المثلثات المستوية، ثم نتبعها بالمثلثات الكروية ان شاء اللّه تعالى.

أما الأول فهو ما يلي:

مثلث- ا ب ح- زاوية ب منه قائمة.

و يسمي ضلعا ا ب، ب ح ساقي المثلث، و ضلع ا ب خاصة قاعدته. و ضلع ا ح وتر القائمة و خط ا ح يسمي قطر الظل و القاطع لأنه قاطع لزاوية ا، و كذا ا ر قطر الظل أى القاطع لأنه قاطع لزاوية ح ا عنى تمام زاوية أ، و قد تقدم باقي الكلام فيه. و هيهنا أمور:

ألف- ب ح و هو الساق جيب زاوية ا.

دروس في معرفة الوقت و القبلة، ص: 20

ب- ا ب و هو القاعدة جيب زاوية ح، لكن ح تمام ا فاب جيب تمام زاوية ا.

ج- خارج قسمة جيب أ على جيب تمام أ أى الساق/ القاعدة ظل زاوية ا أعنى ظل قوس ح د أعنى خط د ح.

د- عكس الثالث أى خارج قسمة جيب تمام أ على جيب أ أي القاعدة/ الساق ظل تمام زاوية ا أعنى ظل زاوية ط ا ح أعنى ظل زاوية ب ح ا لأنها تساوي زاوية ط ا ح بشكل كط من أولي الأصول، أعنى ظل قوس ه ح أعنى خط ه ر فه ر ظل تمام زاوية ب ا ح.

ه- الساق أعنى ب ح/ الوتر اعنى ا ح جيب تمام زاوية أ و- القاعدة أعني ا ب/ الوتر جيب تمام زاوية ا ز- عكس السادس أعنى الوتر/ القاعدة قطر ظل زاوية ا ح- عكس الخامس اى الوتر/ الساق قطر ظل تمام زاوية ا ط- 1- القاعدة/ الوتر ا ب/ ا ح 1- جيب تمام زاوية ا سهم جيب زاوية ا ى- 1- الساق/ الوتر 1- ب ح/ 1 ح 1- جيب زاوية 1 سهم جيب تمام زاوية أ و لنمثل في ذلك مثالا:

فلنفرض الساق أي عمود ح ب 14، و القاعدة أي ب ا 48 فيكون الوتر اى ح ا 50 و ذلك لأن مربع وتر الزاوية القائمة يساوى مجموع مربّعي الساقين المحيطين بها كما برهن في مزمن اولي الأصول المعروف بالعروس فمربع 14 196، و مربع 48 2304 و مجموعهما 2500 و هو مربع وتر القائمة و جذره 50 فالوتر يعدل جذر مجموع مربّعي الضلعين.